“God may not play dice with the universe, but something strange is going on with the prime numbers”. (Paul Erdős, 1913-1996)
Oke anak anak, sekarang kita belajar teori bilangan. Ada yang tau tentang bilangan prima?? yak bilangan prima adalah bilangan bulat positif yang lebih besar dari 1 yang hanya habis dibagi 1 dan dirinya sendiri. Ada algoritma sederhana buat membangkitkan bilangan prima, namanya algoritma Sieve of Eratosthenes. Caranya:
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25...
2. Hapus semua bilangan yang habis dibagi bilangan terkecil (saat ini=2)
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25...
2 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25...
3. Hapus semua bilangan yang habis dibagi bilangan selanjutnya (saat ini=3)
2 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25...
2 3 5 7 11 13 17 19 23 25...
4. Ulangi langkah 3 (saat ini=5)
2 3 5 7 11 13 17 19 23 25...
2 3 5 7 11 13 17 19 23...
dan seterusnya...
Nah, kalo udah bisa bikin barisan bilangan prima, sekarang akan dibahas apa istimewanya bilangan prima. Konon katanya ada tak hingga banyaknya bilangan prima, Hal ini dibuktikan oleh Euclid 200 tahun sebelum masehi menggunakan Reductio ad Absurdum. Banyak matematikawan percaya ini adalah pembuktian pertama dalam sejarah matematika. Bilangan prima eksplisit terbesar yang pernah ditemukan adalah 257.885.161 - 1 atau ditulis M57.885.161 yang memiliki 17.425.170 digit angka dan terbukti prima di tahun 2013. Beberapa hal menarik tentang bilangan prima:
1. Semua bilangan bulat positif lebih dari 1 dapat dinyatakan dalam perkalian satu atau lebih bilangan prima secara unik.
9 = 3x3 101 = 101 105 = 3x5x7
10 = 2x5 102 = 2x3x17 106 = 2x53
99 = 3x3x11 103 = 103 107 = 107
100 = 2x2x5x5 104 = 2x2x2x13 108 = 2x2x3x3x3 dan seterusnya...
Unik disini artinya dari sebuah bilangan bulat hanya dapat dinyatakan oleh satu kombinasi perkalian bilangan prima. Contohnya, 106 adalah hasil perkalian 2 dan 53, maka tidak ada bilangan prima lain selain 2 dan 53 yang menjadi faktor dari 106. Oleh sebab itu, dalam Teorema Fundamental Aritmatika, bilangan prima disebut sebagai unsur pembentuk (atomic elements) dalam perkalian bilangan bulat. Hal ini yang menjadi dasar dari ilmu kriptografi.
2. Keteracakan bilangan prima
Sifat dasar bilangan prima adalah kemunculannya yang sangat acak. Hingga saat ini belum ada yang dapat menyatakan bilangan prima ke-n dalam suatu formula matematis. Aproksimasi dari bilangan prima ke-n adalah P(n) = n*ln(n). Konjektur dari Hipotesis Riemann memiliki formula yang lebih tepat, dan berhadiah 1.000.000 dollar bagi yang bisa membuktikan kebenarannya. Waaa...
Selain itu, ada yang pernah denger Spiral Ulam? ditemukan oleh Stanislaw Ulam yang lagi bosen dengerin seminar sains. Beliau iseng-iseng menuliskan barisan bilangan asli berurutan membentuk spiral. Saat itu beliau menyadari bahwa sebagian besar bilangan prima membentuk diagonal.
Saat kita perbesar ukurannya menjadi 200x200, semakin terlihat keteraturan dari diagonal bilangan prima. Ini penampakannya, titik-titik hitam dibawah merepresentasikan bilangan prima.
 |
| 200x200 Bilangan Prima |
Bilangan ganjil aja ga serapih itu loh penampakannya. Eh sebentar, sebelumnya kita sepakat kalo bilangan prima itu acak, kenapa sekarang jadi teratur gini?? Nah itu dia, hingga saat ini belum ada yang bisa menjelaskan keteraturan Spiral Ulam ini. Yak, itulah, bilangan prima memang masih menjadi sebuah misteri di matematika.
3. Amirp/Emirp?
Apaan tuh??? jangan bingung dulu. Coba sekarang tulis kata PRIMA / PRIME, nah terus sekarang baca dari belakang. Jadi AMIRP / EMIRP kan? haha. Lah teruuusss????
Amirp merupakan kumpulan bilangan prima yang kalo penulisannya dibalik tetep jadi bilangan prima. Contohnya 17 prima, 71 juga prima. Barisan bilangan amirp yaitu:
13, 17, 31, 37, 71, 73, 79, 97, 107, 113, 149, 157 ...
Oia, bilangan dengan satu digit dan bilangan palindrome bukan bilangan amirp. Bilangan amirp terbesar yang pernah diketahui adalah 1010006 + 941992101 × 104999 + 1
4. Twin Prime
Twin prime atau prima kembar adalah pasangan bilangan prima yang memiliki selisih tepat 2. Jadi polanya (n,n+2) dan keduanya harus bilangan prima. Contohnya (3,5) dan (41,43) serta (18383549,18383551). Inilah daftar prima kembar:
(3,5) (17,19) (59,61)
(5,7) (29,31) (71,73)
(11,13) (41,43) (101,103) dan seterusnya...
Umumnya semakin besar nilai bilangan primanya maka semakin jarang ditemukan pasangan bilangan prima kembar dikarenakan faktor pembaginya yang semakin banyak. Walaupun semakin sulit mencari prima kembar di bilangan yang besar, namun hingga saat ini belum ada yang dapat membuktikan bahwa prima kembar akan hilang sepenuhnya setelah angka tertentu. Nih satu lagi masalah matematika yang belum terpecahkan dalam teori bilangan dan masuk daftar Unsolved Math Problem.
(3,5) (17,19) (59,61)
(5,7) (29,31) (71,73)
(11,13) (41,43) (101,103) dan seterusnya...
Umumnya semakin besar nilai bilangan primanya maka semakin jarang ditemukan pasangan bilangan prima kembar dikarenakan faktor pembaginya yang semakin banyak. Walaupun semakin sulit mencari prima kembar di bilangan yang besar, namun hingga saat ini belum ada yang dapat membuktikan bahwa prima kembar akan hilang sepenuhnya setelah angka tertentu. Nih satu lagi masalah matematika yang belum terpecahkan dalam teori bilangan dan masuk daftar Unsolved Math Problem.
5. Segitiga Prima
Nih contohnya:
31 73939133
331 7393913
3331 739391
33331 73939
333331 7393
3333331 739
33333331 73
Semua bilangan diatas adalah bilangan prima namun membentuk pola segitiga yang menakjubkan. Sayangnya 333.333.331 bukan merupakan bilangan prima karena merupakan hasil perkalian 17 ×19.607.843 jadi kita coret. Ada yang punya Segitiga prima lainnya??
Kebanyakan bilangan-bilangan prima terbesar yang diketahui merupakan bilangan prima Mersenne, hal ini dikarenakan implementasi algoritma dalam pencarian bilangan prima Mersenne berjalan dengan cepat daripada rumus bilangan prima lainnya.
6. Bilangan Prima Mersenne
Merupakan bilangan prima dengan rumus Mn = 2n - 1Kebanyakan bilangan-bilangan prima terbesar yang diketahui merupakan bilangan prima Mersenne, hal ini dikarenakan implementasi algoritma dalam pencarian bilangan prima Mersenne berjalan dengan cepat daripada rumus bilangan prima lainnya.
7. Konjektur Goldbach
Konjektur adalah dugaan yang masih dianggap benar dan belum terbukti kebenarannya secara matematis. Jadi berbeda dari Teori atau Aksioma yang merupakan landasan yang telah diterima. Sebenernya ada banyak konjektur tentang bilangan prima tapi ga semua dibahas disini.
Konjektur Goldbach diajukan oleh Christian Goldbach dalam suratnya kepada Euler pada tahun 1742. Bunyinya "Setiap bilangan bulat genap yang lebih besar dari 2 dapat ditulis sebagai jumlah dari dua bilangan prima". Contohnya:
4 = 2 + 2 32 = 29 + 3 = 21 + 11 = 19 + 13 = 29 + 3
6 = 3 + 3 34 = 31 + 3 = 23 + 11 = 17 + 17 = 29 + 5
8 = 3 + 5 36 = 31 + 5 = 23 + 13 = 17 + 19 = 29 + 7 dan seterusnya...
Konjektur ini terbukti benar hingga angka 4 x 1018 namun belum terbukti secara umum. Sehingga masuk daftar Unsolved Math Problem.
Materi dan gambar dari Wikipedia.
Materi dan gambar dari Wikipedia.
keren penjelasannya..,
BalasHapus