Deret Geometri Abu Nawas

     Kalian kenal Abu Nawas? dalam seminar nasional IPB Mathematics Challenge yang diadakan 6 Oktober lalu, salah satu pembicara menceritakan kisah Abu Nawas yang cerdik itu. Beliau adalah Dr.Ir.Amril Aman M.Sc yang merupakan anggota dewan Riset Operasi DKI Jakarta, sekaligus Dosen Pembimbing skripsi saya. Beliau bercerita, suatu ketika Abu Nawas diundang bermain catur dengan sang raja. Raja tersebut angkuh, ia berkata "jika kau (Abu Nawas) kalah bermain catur denganku, maka akan aku penggal kepalamu, namun jika kau menang maka segala permintaanmu akan aku kabulkan". Abu Nawas pun menyanggupinya maka dimulailah permainan catur tersebut.

     Selang berjalannya waktu ternyata sang raja kalah bermain catur. Sesuai janjinya, sang raja akan mengabulkan semua permintaan Abu Nawas. "Baiklah Abunawas, aku kalah, sesuai janjiku, apa permintaanmu?" Abu Nawas pun menjawab "permintaan hamba sederhana saja paduka raja, disetiap kotak di papan catur ini, saya ingin biji gandum dengan aturan 1 butir untuk kotak pertama, 2 butir untuk kotak kedua, 4 butir untuk kotak ketiga, 8 butir di kotak keempat, 16 butir di kotak kelima...", "cukup terlalu panjang penjelasannya" potong sang raja, "baiklah, itu hal yang kecil untuk dikabulkan, pelayan!! kabulkan permintaan pemuda ini." Selang beberapa hari pelayan tersebut melapor kepada sang raja bahwa belum genap setengah dari papan catur tersebut terisi, seluruh persediaan gandum di negeri tersebut sudah habis.

     Jelas kisah ini membuat saya berfikir, apa mungkin? memang perlu berapa butir gandum untuk memenuhi permintaan Abu Nawas? Coba kalau kita hitung:
jika kita perhatikan, permintaan Abu Nawas adalah sebuah deret:
1  + 2 + 4  + 8 + 16  + 32 + 64 + . . .
2⁰ + 2¹ + 2² + 2³ + 2⁴ + 2⁵ + 2⁶ + . . .
∑2^n-1      dengan n=1,2,...,64   (karena terdapat 64 kotak pada papan catur)
asumsi 1 butir biji gandum = 1 Grain = 64.79891 milligram
maka dibutuhkan 1.19533x10²¹ miligram gandum, atau setara dengan 1 triliun ton gandum. Mau tau sepanjang apa nol-nya? ini dia 1.000.000.000.000.

Komputasi dengan Software Mathematica

     Pada tahun 2013 saja total produksi gandum dunia diperkirakan hanya mencapai 700 juta ton, butuh 1400 tahun untuk menabung 1 triliun ton gandum. Raja yang angkuh itu mendapatkan pelajaran dari permintaan Abu Nawas. Jadi, apa hikmah yang bisa kita ambil dari kisah diatas?

Jangan pernah menganggap remeh hal sekecil apapun dan jangan angkuh walau kita memiliki segalanya.

     Jika kita perhatikan baik-baik, Abu Nawas telah mengaplikasikan matematika dengan baik, permintaannya mengacu pada aturan deret geometri

dengan a=1 dan r=2, maka deret geometri tersebut menjadi divergen, ditambah fungsi 2ⁿ yang membesar secara eksponensial. Hal inilah yang membuat jumlah biji gandum yang dibutuhkan menjadi semakin banyak.