Menebak umur ala "Hyakugo gen"

     Sudah lama gak bikin postingan lagi, maklum lagi seru nyusun skripsi. Kali ini kita akan membahas permainan tebak umur dengan matematika ala masyarakat Jepang. Mereka menyebutnya dengan Hyakugo gen atau nama kerennya aturan chinese remainder theorem. Permainan ini adalah aplikasi dari teori bilangan di matematika menggunakan prinsip keterbagian. Ajak teman anda sebagai korban, kalo bisa orang yang anda belum tahu umurnya, lalu ajukan 3 pertanyaan dibawah ini. Silahkan ikuti langkah-langkahnya:

1. Apakah usianya bisa dibagi 3 ? jika tidak sebutkan sisanya.
2. Apakah usianya bisa dibagi 5 ? jika tidak sebutkan sisanya.
3. Apakah usianya bisa dibagi 7 ? jika tidak sebutkan sisanya.

Kemudian setelah itu hitung umurnya dengan cara:
(sisa no.1 x 70) + (sisa no.2 x 21) + (sisa no.3 x 15). Hasilnya dibagi 105, nah sisa dari pembagian tersebut adalah umur si korban.


Contoh:
Umurnya 26 tahun.
26 dibagi 3 sisanya 2
26 dibagi 5 sisanya 1
26 dibagi 7 sisanya 5
2x70 + 1x21 + 5x15 = 236
236 dibagi 105 adalah 2 dengan sisa 26 atau
236 = 105x2 + 26
jadi umurnya adalah 26

Contoh lain:
Umurnya 100 tahun.
100 dibagi 3 sisanya 1
100 dibagi 5 sisanya 0
100 dibagi 7 sisanya 2
1x70 + 0x21 + 2x15 = 100
100 dibagi 105 adalah 0 dengan sisa 100 atau
100= 105x0 + 100
jadi umurnya adalah 100

     Kelemahan dari permainan ini adalah kita tidak bisa menebak umur lebih dari 105 tahun. Lalu bagaimana matematika menjelaskan permainan ini?
Dalam matematika dikenal operator "modulo" (ditulis mod) yang berarti sisa bagi. penggunaannya sebagai berikut:
a mod n adalah sisa pembagian a terhadap n.
Misal 17 mod 3 = 2 karena 17 dibagi 3 adalah 5 dengan sisa 2, atau secara matematisnya:
17 = 3x5 + 2.

Nah, setelah mengenal operator modulo, sekarang kita mulai pembahasannya.
Misalkan umur yang ingin ditebak adalah X, maka:
X dibagi 3 sisanya a    atau    X = 3p+a    maka    a = X-3p
X dibagi 5 sisanya b    atau    X = 5q+b    maka    b = X-5q
X dibagi 7 sisanya c    atau    X = 7r+c    maka    c = X-7r
dengan X,a,b,c,p,q,r anggota bilangan bulat.

lalu penghitungannya:
(sisa no.1 x 70) + (sisa no.2 x 21) + (sisa no.3 x 15)
= 70a+21b+15c
= 70(X-3p) + 21(X-5q) + 15(X-7r)
= 70X-210p+21X-105q+15X-105r
= 106X-105(2p+q+r)
= X+105(X-2p-q-r)

hasil penghitungan tersebut kita modulo-kan dengan 105:
X+105(X-2p-q-r) mod 105 = X

Kan, oleh sebab itu hasil penghitungannya akan menghasilkan umur itu sendiri. Sekian, selamat menikmati permainannya.